Fungsi Turunan

TURUNAN FUNGSI ( DEFERENSIAL)

KONSEP TURUNAN

          Konsep turunan awal mulanya dikembangkan dalam bidang matematika dan fisika, seperti tingkat perubahan dari suatu fungsi, atau laju kecepatan suatu benda yang bergerak. Akan tetapi, dewasa ini penerapannya berkembang kebidang lain seperti ilmu ekonomi.

Sebuah roket membawa satelit yang akan diorbitkan diluar angkasa, misalkan jarak s yang ditempuh setelah t detik adalah s = 10 t² m , dari imformasi ini dapat kita hitung  kecepatan roket saat t = 1 detik, saat t = 2 detik , dan seterusnya. Dengan mempelajari turunan fungsi aljabar pertanyaan ini dapat kita jawab.

PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI

Definisi turunan : Fungsi f : x → y atau y = f (x) mempunyai turunan yang dinotasikan y’ = f’(x) atau   dy  =  df(x) dan di definisikan :

                                                dx        dx

y’  =  f’(x)  =  lim    f(x + h) – f(x)  atau   dy = lim    f (x +∆x) – f(x)

                       h→0          h                        dx    h→0            h

Notasi kedua ini disebut notasi Leibniz.

Contoh 1:

Tentukan turunan dari   f(x) = 4x – 3

Jawab:

f(x) = 4x – 3

f( x + h) = 4(x + h) – 3

             = 4x + 4h -3

Contoh 2:

Tentukan turunan dari  f(x) = 3x²

Jawab :

           f(x) = 3x²

           f(x + h) = 3 (x + h)²

                        = 3 (x² + 2xh + h²)

                        = 3x² + 6xh + 3h²

Sehingga :  

            

Latihan

Dengan definisi di atas tentukan nilai turunan berikut:

1. f(x) = 6 – 2x
2. f(x) = 5x² +2x
3. 
    
4.  
5. f(x) = 2x³

RUMUS-RUMUS TURUNAN

1. Turunan f(x) = axⁿ adalah f’(x) = anx^n-1 atau  = anx^n-1

2. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku

a.       y = ± v → y’ = v’ ± u’

b.      y = c.u → y’ = c.u’

c.       y = u.v → y’ = u’ v + u.v’

d.      

e.       y  = uⁿ → y’ = n. u^n-1.u’

Contoh:

Soal ke-1

Jika f(x) = 3x² + 4 maka nilai f¹(x) yang mungkin adalah ….

Pembahasan

f(x)      = 3x² + 4

f¹(x)     = 3.2x

            = 6x

                                                       

Soal ke-2

Nilai turunan pertama dari: f(x) = 2(x)² + 12x² – 8x + 4 adalah …

Pembahasan

f(x)      = 2x³ + 12x² – 8x + 4

f¹(x)     = 2.3x² + 12.2x – 8

            = 6x² + 24x -8

Soal ke-3

Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) adalah …

Pembahasan

f(x)      = (3x-2)(4x+1)

f(x)      = 12x² + 3x – 8x – 2

f(x)      = 12x² – 5x – 2

f¹(x)     = 24x – 5

Soal ke- 4

Jika f(x) = (2x – 1)³ maka nilai f¹(x) adalah …

Pembahasan

f(x)      = (2x – 1)³

f¹(x) = 3(2x – 1)² (2)

f¹(x) = 6(2x – 1)²

f¹(x) = 6(2x – 1)(2x – 1)

f¹(x) = 6(4x² – 4x+1)

f¹(x) = 24x² – 24x + 6

Soal ke- 5

Turunan pertama dari f(x) = (5x² – 1)² adalah …

Pembahasan

f(x)      = (5x² – 1)³

f¹(x) = 2(5x² – 1) (10x)

f¹(x) = 20x (5x² – 1)

f¹(x) = 100x³ – 20x

Soal ke- 6

Turunan pertama dari f(x) = (3x² – 6x) (x + 2)  adalah …

Pembahasan

f(x)      = (3x² – 6x) (x + 2)

Cara 1:

Misal   : U   = 3x² – 6x

              U¹  = 6x – 6

              V   = x + 2

              V¹  = 1

Sehingga:

f’(x)    = U’ V + U V’

f¹(x)     = (6x – 6)(x+2) + (3x²+6x).1

f¹(x)     = 6x² + 12x – 6x – 12 + 3x² – 6x

f¹(x)     = 9x² – 12

Cara 2:

f(x)      = (3x² – 6x) (x + 2)

f¹(x)     = 3x^-3+6x² – 6x³ – 12x

f¹(x)     = 9x²+12x –12x – 12

f¹(x)     = 9x² – 12

    MODUL  STATISTIK DAN PELUANG,   compiled by: ENDRAWITA, S.Pd 

Latihan soal.

Tentukan turunan dari

 

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Dengan menggunakan definisi turunan kita bias menentukan turunan dari :

1. f(x) = sin x

Yaitu :

         

2.  f(x) = cos x

Yaitu :

                                                                

Jadi diperoleh rumus turunan fungsi trigonometri :

1.      a. f(x) = sin x → f’ (x) = cos x

b. f(x) = cos x → f’ (x) = - sin x

2.      a. f(x) = sin (ax + b) → f’(x) = a cos (ax + b )

      b. f(x) = cos (ax + b) → f’(x) = - a sin (ax + b )

      dan jika u suatu fungsi maka:

3.      a. f(x) = sin u → f’(x) = u’ cos u

      b. f(x) = cos u → f’(x) = - u’ sin u

Contoh :

Tentuka turunan dari:

a.       f(x) = 3 sin x + 2 cos x

b.      f(x) = sin (5x – 2)

c.       f(x) = tan x

jawab:

a. f(x) = 3 sin x + 2 cos x

    f’(x) = 3 cos x - 2 sin x

b. f(x) = sin (5x – 2)

    f’ (x)  =  5 cos (5x – 2 )

c. f(x) = tan x =

    missal : u = sin x → u’ = cos x

                 v = cos x → v’ = - sin x

    

Latihan soal :

Tentukan turunan dari fungsi berikut :

DALIL RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN

Apabila y = f(g(x)) maka y’ = f’ (g(x)). g’(x)

Dari rumus y = f(g(x)) → y’ = f’ (g(x)). g’(x)

Jika g(x) = u→ g’ (x) =  dan f(g(x)) = f(u) → y = f(u) →  = f’(u) = f’(g(x))

Maka f’(x) = f’ (g(x)). g’(x) dapat dinyatakan ke notasi Leibniz menjadi 

                                   

Dan bentuk tersebut dapat dikembangkan jika y = f ( u(v)) maka:

  

Contoh:

Dengan notasi Leibniz tentukan turunan dari :

Jawab:

 

b.

Latihan soal :